Μαθηματική Λογική
Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών
Μαθηματικών
Έτος: 2013
Διδάσκων: Κωνσταντίνος Δημητρακόπουλος
Περιγραφή Μαθήματος
Το μάθημα αφορά βασικές γνώσεις Μαθηματικής Λογικής, δηλαδή τους τρόπους ορθής επιχειρηματολογίας, σε όσο το δυνατό γενικότερο πλαίσιο, με χρήση συμβολισμού και μεθόδων από τα Μαθηματικά.
Video-Διαλέξεις
Διάλεξη 01: Εισαγωγή - η λογική στην ιστορική περίοδο της αρχαιότητας (2013-02-13)
Εισαγωγή , βασικές αναφορές σε περιόδους της λογικής, η λογική στην ιστορική περίοδο της αρχαιότητας
Διάλεξη 02: Το αξιωματικό ή παραγωγικό ή τυπικό σύστημα (2013-02-13)
Το αξιωματικό σύστημα, η διαδικασία της απόδειξης κατά την αρχαιότητα, το παράδειγμα αξιωματικού συστήματος του Ευκλείδη, η μέθοδος της διαίρεσης του Πλάτωνα, το δικαστικό παράδοξο του Πρωταγόρα, εισαγωγή στη χρήση συμβόλων της λογικής.
Διάλεξη 03: Προτασιακή λογική – Εισαγωγή στις βασικές έννοιες – Αρχή της επαγωγής (2013-02-20)
Τυπική γλώσσα της προτασιακής λογικής, η έννοια του προτασιακού τύπου, η αρχής της επαγωγής για το σύνολο των προτασιακών τύπων.
Διάλεξη 04: Κανόνες απαλοιφής παρενθέσεων – Πίνακες αλήθειας των συνδέσμων (2013-02-20)
Κανονές απαλοιφής των παρενθέσεων σε προτασιακούς τύπους, πίνακες αλήθειας των συνδέσμων, παράδειγμα εύρεσης πίνακα αλήθειας ενός προτασιακού τύπου.
Διάλεξη 05: Μοναδική αναγνωσιμότητα προτασιακών τύπων – Λογική συνεπαγωγή – Θεωρήματα και νόμοι προτασιακής λογικής (2013-02-20)
Η ιδιότητα της μοναδικής αναγνωσιμότητας προτασιακών τύπων, η έννοια της λογικής συνεπαγωγής, παραδείγματα λογικής συνεπαγωγής, το θεώρημα “εις άτοπον απαγωγής”, το θεώρημα συμπάγειας, οι νόμοι της προτασιακής λογικής.
Διάλεξη 06: Λογική συνεπαγωγή και ισοδυναμία – παραδείγματα (2013-02-27)
Παραδείγματα αποδείξεων λογικής συνεπαγωγής και λογικής ισοδυναμίας, η αρχή της αντικατάστασης, παράδειγμα απλοποίησης ενός προτασιακού τύπου.
Διάλεξη 07: Απλοποίηση προτασιακού τύπου – παραδείγματα – πληρότητα συνόλων συνδέσμων (2013-02-27)
Παραδείγματα απλοποίησης προτασιακών τύπων, οι νόμοι απορρόφησης για προτασιακούς τύπους, η έννοια της πληρότητας συνόλων συνδέσμων.
Διάλεξη 08: Πληρότητα συνόλων συνδέσμων – Θεώρημα κανονικής διαζευκτικής μορφής (2013-03-04)
Η έννοια της πληρότητας (ή επάρκειας) συνόλων συνδέσμων, το θεώρημα κανονικής διαζευτικής μορφής, παραδείγματα.
Διάλεξη 09: Επαρκή και μη επαρκή σύνολα συνδέσμων (2013-03-04)
Παραδείγματα επαρκών και μη επαρκών συνόλων συνδέσμων, κριτήριο ανεπάρκειας ενός συνόλου συνδέσμων.
Διάλεξη 10: Προτασιακός λογισμός (2013-03-06)
Τα αξιωματικά σχήματα και ο αποδεικτικός κανόνας του προτασιακού λογισμού.
Διάλεξη 11: Η έννοια της τυπικής απόδειξης και το θεώρημα παραγωγής (2013-03-06)
Η έννοια της τυπικής απόδειξης, το θεώρημα παραγωγής του προτασιακού λογισμού, ένα πόρισμα του θεωρήματος παραγωγής.
Διάλεξη 12: Παραδείγματα τυπικών αποδείξεων (2013-03-11)
Παραδείγματα κατασκευής τυπικών αποδείξεων με χρήση των αξιωματικών σχημάτων και του κανόνα modus ponens.
Διάλεξη 13: Βασικά θεωρήματα του Προτασιακού λογισμού (2013-03-11)
Απόδειξη του θεωρήματος αντιθετοαναστροφής, ορισμός της συνέπειας ενός συνόλου προτασιακών τύπων, το θεώρημα της “εις άτοπον απαγωγής”, τα θεωρήματα εγκυρότητας και πληρότητας της προτασιακής λογικής.
Διάλεξη 14: Ασκήσεις στην Προτασιακή Λογική (2013-03-13)
Επίλυση ασκήσεων στην Προτασιακή Λογική.
Διάλεξη 15: Κατηγορηματική λογική – Πρωτοβάθμιες γλώσσες (2013-03-27)
Τα δομικά στοιχεία μίας πρωτοβάθμιας γλώσσας της κατηγορηματικής λογικής, κατασκευή τύπων της κατηγορηματικής λογικής, η έννοια της δομής για πρωτοβάθμια γλώσσα, η δομή για την πρωτοβάθμια γλώσσα της αριθμητικής.
Διάλεξη 16: Πρωτοβάθμιες γλώσσες – Δομή και ορισμός αλήθειας του Tarski (2013-03-27)
Η δομή για την πρωτοβάθμια γλώσσα της αριθμητικής, το παράδειγμα των αρνητικών ακεραίων, ο ορισμός αλήθειας του Tarski, η διαφορά μεταξύ ελεύθερης και δεσμευμένης μεταβλητής.
Διάλεξη 17: Ορισμός αλήθειας του Tarski (2013-04-01)
O ορισμός αλήθειας του Tarski, παράδειγμα εφαρμογής στη δομή για την πρωτοβάθμια γλώσσα της αριθμητικής.
Διάλεξη 18: Κατηγορηματικός Λογισμός – εισαγωγή (2013-04-08)
Χρήση αξιωμάτων και αποδεικτικών κανόνων για την κατασκευή ενός συστήματος που είναι πλήρες και έγκυρο. Διάκριση των αξιωμάτων σε λογικά και σε μη λογικά. Επέκταση των αξιωμάτων του προτασιακού λογισμού με λογικά αξιώματα που αφορούν τους ποσοδείκτες και την ισότητα.
Διάλεξη 19: Κατηγορηματικός λογισμός – Αξιώματα και αντικαταστασιμότητα (2013-04-10)
Ανασκόπηση των αξιωματικών σχημάτων του κατηγορηματικού λογισμού. Η έννοια της αντικαταστασιμότητας μίας μεταβλητής στον κατηγορηματικό λογισμό.
Διάλεξη 20: Η έννοια της αντικαταστάσιμης μεταβλητής – τα θεωρήματα της κατηγορηματικής λογικής (2013-04-10)
Αναδρομικός ορισμός της αντικαταστάσιμης μεταβλητής. Ένα παράδειγμα στο οποίο δεν ισχύει η αντικαστασιμότητα μεταβλητής. Τα βασικά θεωρήματα της κατηγορηματικής λογικής. Παραδείγματα εφαρμογής.
Διάλεξη 21: Εφαρμογή των αξιωμάτων της κατηγορηματικής λογικής (2013-04-15)
Παραδείγματα εφαρμογής των αξιωματικών σχημάτων της κατηγορηματικής λογικής για την απόδειξη τυπικών θεωρημάτων.
Διάλεξη 22: Το θεώρημα υπαρξιακής σταθεροποίησης – στρατηγική της αποδεικτικής διαδικασίας (2013-04-15)
Το θεώρημα υπαρξιακής σταθεροποίησης της κατηγορηματικής λογικής. Παρουσιασή της στρατηγικής για τη διαδικασία απόδειξης της τυπικής συνεπαγωγής ενός τύπου από ένα σύνολο υποθέσεων.
Διάλεξη 23: Το θεώρημα κανονικής ποσοδεικτικής μορφής (2013-04-22)
Παρουσίαση και περιγραφική απόδειξη του θεωρήματος κανονικής ποσοδεικτικής μορφής της κατηγορηματικής λογικής.
Διάλεξη 24: Τα θεωρήματα εγκυρότητας και πληρότητας του κατηγορηματικού λογισμού (2013-04-24)
Τα θεωρήματα εγκυρότητας και πληρότητας του κατηγορηματικού λογισμού. Το θεώρημα μη πληρότητας του Gödel για την πρωτοβάθμια γλώσσα της αριθμητικής.
Διάλεξη 25: Το θεώρημα μη πληρότητας του Gödel (2013-04-24)
Το θεώρημα μη πληρότητας του Gödel για την πρωτοβάθμια γλώσσα της αριθμητικής.
Διάλεξη 26: Η περιπατητική λογική του Αριστοτέλη (2013-05-13)
Η περιπατητική λογική του Αριστοτέλη. Σημ : Η διάλεξη πραγματοποιήθηκε προς το τέλος των μαθημάτων και προϋποθέτει κάποιες γνώσεις που παρουσιάστηκαν σε προηγούμενες διαλέξεις.
Διάλεξη 27: Το τετράγωνο της αντίθεσης του Αριστοτέλη (2013-05-13)
Το τετράγωνο της αντίθεσης του Αριστοτέλη.
Διάλεξη 28: Η θεωρία συλλογισμού του Αριστοτέλη (2013-05-15)
Η θεωρία συλλογισμού του Αριστοτέλη. Η διάκριση σε αποδεικτικό και διαλεκτικό συλλογισμό.
Διάλεξη 29: Τα συλλογιστικά σχήματα του Αριστοτέλη (2013-05-15)
Τα συλλογιστικά σχήματα του Αριστοτέλη.
Διάλεξη 30: Η λογική των Στωικών (2013-05-22)
Η θεωρία νοήματος και αλήθειας των Στωικών, η θεωρία λεκτών, το σύστημα φυσικής παραγωγής.
Διάλεξη 31: Οι αναπόδεικτοι τρόποι των Στωικών (2013-05-22)
Οι αναπόδεικτοι τρόποι των Στωικών.
Διάλεξη 32: Επίλυση ασκήσεων στην κατηγορηματική λογική (2013-05-27)
Επίλυση ασκήσεων στην κατηγορηματική λογική.