Γραμμική Άλγεβρα
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης
Τμήμα Μαθηματικών
Έτος: 2013
Διδάσκων: Χαρά Χαραλάμπους
Περιγραφή Μαθήματος
Η Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ διδάσκεται στο 2ο εξάμηνο σπουδών του τμήματος Μαθηματικών, του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Αποτελεί την συνέχεια του βασικού μαθήματος της Γραμμικής Άλγεβρας και συνδέει τις έννοιες των πινάκων και των διανυσματικών χώρων με τις λύσεις των γραμμικών εξισώσεων, τις ιδιοτιμές και τα εσωτερικά γινόμενα. Αντικειμενικοί στόχοι του μαθήματος είναι η κατανόηση των βασικών εννοιών που συνοψίζονται στη περιγραφή της Γραμμικής Άλγεβρας II, ανάπτυξη της κριτικής σκέψης των εκπαιδευόμενων και εφαρμογή των εννοιών της Γραμμικής Άλγεβρας στους διάφορους τομείς των Μαθηματικών.
Video-Διαλέξεις
Διάλεξη 01: Εισαγωγή
Στην ενότητα αυτή παρουσιάζεται το εισαγωγικό μέρος του μαθήματος.
Διάλεξη 02: Επίλυση γραμμικών συστημάτων
Μέθοδος εύρεσης λύσεων, γραφή συνόλου λύσεων, μη συμβατά συστήματα Null(A), Ker(f) και Null(A), Im(f) και επίλυση γραμμικών συστημάτων, μέθοδος του Cramer, σημεία σε μία καμπύλη.
Διάλεξη 03: Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα
Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα, αλγόριθμος εύρεσης, γραφική απεικόνιση ιδιοδιανυσμάτων, ιδιοτιμές αντιστρόφου και αναστρόφου και δυνάμεων πίνακα, χαρακτηριστικό πολυώνυμο, όμοιοι πίνακες και ιδιοτιμές.
Διάλεξη 04: Διαγωνιοποίηση
Ιδιοχώροι, αλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα, ανεξαρτησία ιδιοδιανυσμάτων για διαφορετικές ιδιοτιμές, διαγωνιοποίηση, εφαρμογές: πρόβλημα κυνηγού+λείας.
Διάλεξη 05: Θεώρημα των Cayley-Hamilton
Θεώρημα Cayley-Hamilton και εφαρμογές.
Διάλεξη 06: Εσωτερικά γινόμενα σε Ερμιτιανούς και Ευκλείδειους χώρους
Εσωτερικά γινόμενα σε Ερμιτιανούς και Ευκλείδειους χώρους, ορισμοί και ιδιότητες, μήκος διανυσμάτων.
Διάλεξη 07: Ορθοκανονικές βάσεις
Ορθογώνια διανύσματα, προβολές, ιδιότητες ορθογώνιας βάσης, ορθογώνιο συμπλήρωμα, προβολές, ανισότητα Cauchy-Scwarz (απόδειξη με προβολή), μέθοδος των Gram-Schmidt.
Διάλεξη 08: Εφαρμογές προβολών
Ορθογώνιο συμπλήρωμα χώρου γραμμών = μηδενοχώρος του συζυγή αναστρόφου, μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων, ευθεία ελαχίστων τετραγώνων, γενικευμένο εσωτερικό γινόμενο.
Διάλεξη 09: Ισομετρίες
Ισομετρίες, διατήρηση του εσωτερικού γινομένου και απεικόνιση ορθοκανονικής βάσης σε ορθοκανονική βάση, ισομετρίες στο επίπεδο: αντικατοπτρισμοί, περιστροφές, ισομετρίες στο R^3, ορθογώνιοι πίνακες, ισομετρίες σε ερμητιανούς χώρους, ορθομοναδιαίοι πίνακες.
Διάλεξη 10: Φασματικό θεώρημα
Προσαρτημένος πίνακας, φασματικό θεώρημα, αυτοπροσαρτημένες γραμμικές συναρτήσεις και οι ιδιοτιμές τους.
Διάλεξη 11: Τετραγωνικές μορφές
Διάλεξη 12: Κανονικοί πίνακες, αντίστροφο φασματικού θεωρήματος
Κανονικοί πίνακες, παραδείγματα, αντίστροφο φασματικού θεωρήματος, αν