Θεωρία Σωμάτων
Πανεπιστήμιο Κρήτης
Τμήμα Μαθηματικών
Έτος: 2014-2015
Διδάσκων: Ιωάννης Α. Αντωνιάδης
Περιγραφή Μαθήματος
Πεπερασμένες επεκτάσεις σωμάτων. Aλγεβρικοί Aριθμοί. Kατασκευές με κανόνα και διαβήτη και τα άλυτα γεωμετρικά προβλήματα της αρχαιότητας. Σώμα ριζών πολυωνύμου. H ομάδα Galois μιας πεπερασμένης επέκτασης σωμάτων. Θεμελιώδες θεώρημα της Θεωρίας Galois. Kριτήριο επιλυσιμότητος αλγεβρικών εξισώσεων. H γενική αλγεβρική εξίσωση βαθμού > 5 είναι άλυτη με χρήση μόνο ριζικών και των τεσσάρων αριθμητικών πράξεων.
Video-Διαλέξεις
Διάλεξη 01: Εισαγωγή (2014-02-19)
Σώμα, εξίσωση, επιλυσιμότητα της γενικής εξίσωσης με ριζικά,τα τρία άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας, κατασκευή κανονικού n-γώνου
Διάλεξη 02: Προλεγόμενα (2014-02-19)
Δακτύλιος, σώμα, ακεραία περιοχή, ομομορφισμός σωμάτων, χαρακτηριστική σώματος.
Διάλεξη 03: Προλεγόμενα (συνέχεια)
Δακτύλιος πολυωνύμων,θεώρημα ευκλείδειας διαίρεσης,ανάγωγο πολυώνυμο, κριτήριο Eisenstein.
Διάλεξη 04: Επεκτάσεις Σωμάτων (2014-02-26)
Επέκταση σωμάτων, βαθμός επέκτασης.
Διάλεξη 05: Επισύναψη (2014-03-05)
Σώμα Κ(S), επισύναψη συνόλου σε σώμα, ελάχιστο (ανάγωγο) πολυώνυμο ενός αλγεβρικού στοιχείου υπέρ το Κ. Αλγεβρικό στοιχείο επέκτασης
Διάλεξη 06: Αλγεβρικές Επεκτάσεις (2014-03-10)
Αλγεβρική επέκταση, υπερβατική επέκταση, Αν L/K επέκταση σωμάτων, A(L) η αλγεβρική θήκη του Κ στο L.
Διάλεξη 07: Αλγεβρικές Επεκτάσεις - Πολυώνυμα και Επεκτάσεις
Δακτύλιος πηλίκων,πρώτα ιδεώδη, maximal ιδεώδη, περιοχή κυρίων ιδεωδών.
Διάλεξη 08: Πολυώνυμα και Επεκτάσεις (συνέχεια), κατασκευασιμότητα με κανόνα διαβήτη (2014-03-17)
Ρίζα πολυωνύμου,Κ-ισομορφισμός σωμάτων, κατασκευασιμότητα με κανόνα και διαβήτη
Διάλεξη 09: Τα τρία άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας (2014-03-19)
Ο διπλασιασμός του όγκου ενός δοθέντος κύβου, Η τριχοτόμηση οποιασδήποτε δοθείσης γωνίας και Ο τετραγωνισμός του κύκλου
Διάλεξη 10: Θεωρήματα επέκτασης ισομορφισμών. Σώμα ανάλυσης
Επέκταση ισομορφισμών, Κ-ισομορφισμός,σώμα ανάλυσης
Διάλεξη 11: Αλγεβρικά κλειστό σώμα, αλγεβρική θήκη, ομάδες αυτομορφισμών (2014-03-26)
Αλγεβρικά κλειστό σώμα,αλγεβρική θήκη σώματος, σώμα ανάλυσης, ομάδες αυτομορφισμών
Διάλεξη 12: Ομάδες αυτομορφισμών,κανονικές επεκτάσεις
Ομάδες αυτομορφισμών και σώμα σταθερών στοιχείων
Διάλεξη 13: Κανονικές επεκτάσεις (2014-04-02)
Κανονική επέκταση, κανονική θήκη, διαχωρισιμότητα
Διάλεξη 14: Διαχωρισιμότητα (συνέχεια), Επεκτάσεις Galois (2014-04-07)
Επέκταση Galois , κανονική, διαχωρίσιμη, σώμα ανάλυσης, σώμα των σταθερών στοιχείων.
Διάλεξη 15: Θεωρία του Galois (2014-04-09)
Galois αντιστοιχία, αβελιανές ομάδες
Διάλεξη 16: Επεκτάσεις Galois, (Συνέχεια), αβελιανές ομάδες (2014-04-28)
Galois αντιστοιχία, αβελιανές ομάδες
Διάλεξη 17: Επιλύσιμες ομάδες, ομάδες μεταθέσεων (2014-04-30)
p-ομάδες, επιλύσιμες ομάδες, ομάδες μεταθέσεων.
Διάλεξη 18: Απλές ομάδες και επιλυσιμότητα (2014-05-05)
Απλή ομάδα, επιλύσιμη ομάδα
Διάλεξη 19: Ομάδες και εξισώσεις (2014-05-12)
Πολυώνυμα επιλύσιμα με ριζικά, επεκτάσεις με ριζικά
Διάλεξη 20: Πολυώνυμα με ομάδα Galois ισόμορφη προς την S_p, όπου p πρώτος αριθμός. Κατασκευασιμότητα κανονικού n-γώνου (2014-05-14)
Πολυώνυμα επιλύσιμα με ριζικά, κατασκευασιμότητα κανονικού πολυγώνου
Διάλεξη 21: Κατασκευασιμότητα κανονικού πολυγώνου, η γενική εξίσωση n-οστού βαθμού. (2014-05-21)
Γενική εξίσωση n- οστου βαθμού, συμμετρικές συναρτήσεις, πρώτοι αριθμοί Fermat.
Διάλεξη 22: Επίλυση της γενικής εξίσωσης 2ου, 3ου και 4ου βαθμού και ομάδα Galois αυτής (2014-05-28)
Επίλυση εξισώσεων,ομάδα Galois, πεπερασμένα σώματα