Θεωρία Galois
Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών
Μαθηματικών
Έτος: 2014-2015
Διδάσκων: Ιωάννης Εμμανουήλ
Περιγραφή Μαθήματος
Ο στόχος του μαθήματος είναι να εισάγει τους φοιτητές στη θεωρία των επεκτάσεων και των αυτομορφισμών σωμάτων, καθώς επίσης και να περιγράψει ορισμένες κλασικές εφαρμογές της θεωρίας.
Video-Διαλέξεις
Διάλεξη 01: Ιδεώδες δακτυλίου πολυωνύμων (2014-10-14)
Ελάχιστο ιδεώδες δακτυλίου, μορφή ιδεωδών δακτυλίων. Μη αντιστρέψιμο στοιχείο. Ακέραια περιοχή και πρώτο ιδεώδες. Πότε ένας δακτύλιος πηλίκο είναι ακέραια περιοχή, σώμα, μεγιστικό ιδεώδες. Παραδείγματα και ελάχιστος υποδακτύλιος.
Διάλεξη 02: Συμμετρικά πολυώνυμα n μεταβλητών (2014-10-21)
Ορισμός, προτάσεις. Αλγοριθμική διαδικασία: πως μπορούμε να γράψουμε ένα πολυώνυμο συμμετρικό σε δύο μεταβλητές ως κάποια πολυωνυμική έκφραση. Παρατηρήσεις, ιδιότητες, παραδείγματα. Εισαγωγή στις επεκτάσεις σωμάτων: ορισμός, παρατηρήσεις. Βαθμός επέκτασης.
Διάλεξη 03: Αλγεβρικά και υπερβατικά στοιχεία (2014-10-23)
Ορισμοί και ελάχιστο πολυώνυμο.
Διάλεξη 04: Επεκτάσεις σωμάτων: βαθμός επέκτασης (2014-10-23)
Παραδείγματα, προτάσεις και πορίσματα.
Διάλεξη 05: Αλγεβρικό στοιχείο και ελάχιστο πολυώνυμο (2014-10-30)
Λήμμα, βαθμός επέκτασης και βαθμός πολυωνύμου. Απόδειξη, παραδείγματα, ανάγωγο πολυώνυμο και βαθμός επέκτασης.
Διάλεξη 06: Επεκτάσεις σωμάτων και γεωμετρικές κατασκευές (2014-11-04)
Εισαγωγή συντεταγμένων, λήμμα, περιπτώσεις.
Διάλεξη 07: Παραδείγματα υπολογισμού βαθμού επεκτάσεων (2014-11-04)
Πως σχετίζονται με τις γεωμετρικές κατασκευές με κανόνα και διαβήτη: εισαγωγή.
Διάλεξη 08: Επέκταση σύνολου σημείων του επιπέδου (2014-11-11)
Εφαρμογές, τριχοτόμηση γωνίας.
Διάλεξη 09: Σώματα ριζών (2014-11-11)
Συνέχεια στην επέκταση σύνολου σημείων του επιπέδου: κατασκευή κανονικού n-γώνου. Σώματα ριζών: προτάσεις.Κατασκευή επέκτασης σωμάτων αναζητώντας ρίζες. Σώμα ριζών πολυωνύμων: ύπαρξη, μοναδικότητα, ιδιότητες.Ισομορφισμός σωμάτων.
Διάλεξη 10: Σώμα ριζών πολυωνύμου (2014-11-13)
Ισομορφισμός σωμάτων. Παράδειγμα του x κύβου μείον 2 στο Q[x].
Διάλεξη 11: Ισομορφισμός σωμάτων (2014-11-18)
Παρατηρήσεις, προτάσεις. Ισομορφισμός σωμάτων και μεταθετικό διάγραμμα. Πως επεκτείνονται οι ισομορφισμοί. Πως επεκτείνεται η ταυτοτική απεικόνιση. Εισαγωγή στον αυτομορφισμό σωμάτων.
Διάλεξη 12: Αυτομορφισμός σωμάτων (2014-11-20)
Ο αυτομορφισμός σώματος λαμβάνει τη δομή μιας ομάδας. Ορισμοί, παρατηρήσεις, λήμμα, απόδειξη, πεπερασμένα σώματα.
Διάλεξη 13: Ομάδα αυτομορφισμών (2014-12-02)
Υποομάδες αυτομορφισμών, υποσώματα, παρατηρήσεις, ιδιότητες.
Διάλεξη 14: Πεπερασμένες ομάδες αυτομορφισμών (2014-12-02)
Πρόταση, απόδειξη, πόρισμα.
Διάλεξη 15: Κανονική επέκταση σωμάτων (2014-12-04)
Ορισμός, λήμμα, παρατηρήσεις, πρόταση. Απόδειξη του αντίστροφου του προηγούμενου λήμματος και σύνδεση με σώματα ριζών.
Διάλεξη 16: Επεκτάσεις Galois (2014-12-09)
Ομάδα Galois, κανονικές επεκτάσεις και επεκτάσεις Galois.
Διάλεξη 17: Επεκτάσεις Galois και σώματα ριζών (2014-12-09)
Παρατηρήσεις, παραδείγματα. Κάθε κανονική επέκταση είναι επέκταση Galois για υποσώματα στο C. Προτάσεις, απόδειξη. Πόρισμα, απόδειξη, παρατηρήσεις.
Διάλεξη 18: Επεκτάσεις Galois και ισομορφισμός ομάδων (2014-12-16)
Απόδειξη του αντίστροφου του προηγούμενου πορίσματος. Συμμετρικές ομάδες και ομορφισμός ομάδων. Παράδειγμα: Ομορφισμός ομάδων.
Διάλεξη 19: Θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας Galois (2014-12-18)
Απόδειξη, υπενθύμιση επέκταης Galois, παραδείγματα, εφαρμογές.
Διάλεξη 20: Πρωταρχικές γεννήτορες (2015-01-08)
Ορισμοί, κυκλοτομικό πολυώνυμο, κυκλοτομικά πολυώνυμα με ακέραιους συντελεστές, υπολογισμοί, ιδιότητες.
Διάλεξη 21: Ν-οστό κυκλοτομικό πολυώνυμο (2015-01-13)
Εφαρμογή, παρατηρήσεις, πόρισμα, απόδειξη.
Διάλεξη 22: Κυκλική ομάδα αυτομορφισμών (2015-01-15)
Ομάδα αυτομορφισμών κυκλικής τάξης n, επέκταση με ριζικά, πολυώνυμα και επίλυση με ριζικά. Πρόβλημα: πότε ένα πολυώνυμο επιλύεται με ριζικά.
Διάλεξη 23: Επέκταση με ριζικά (2015-01-20)
Επέκταση Galois με ριζικά, περιπτώσεις.
Διάλεξη 24: Δομή ομάδας Galois (2015-01-20)
Επιλύσιμες ομάδες, πεπερασμένες ομάδες, παραδείγματα.
Διάλεξη 25: Επιλύσιμες ομάδες (2015-01-22)
Προτάσεις, γενική εξίσωση βαθμού n.