Πραγματική Ανάλυση
Πανεπιστήμιο Κρήτης
Τμήμα Μαθηματικών
Έτος: 2014-2015
Διδάσκων: Θεμιστοκλής Μήτσης
Περιγραφή Μαθήματος
Το μάθημα θα καλύψει τη στοιχειώδη θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης κατά Lebesque στην πραγματική ευθεία. Σκοπός τής θεωρίας μέτρου είναι η γενίκευση τής έννοιας τού μήκους σε σύνολα πιο περίπλοκα από διαστήματα. Σκοπός τής θεωρίας ολοκλήρωσης κατά Lebesque είναι η κατασκευή ενός ολοκληρώματος απαλλαγμένου από τις θεμελιώδεις αδυναμίες τού ολοκληρώματος Riemann, ιδιαίτερα, τη σχετικά μικρή κλάση ολοκληρώσιμων συναρτήσεων, και την προβληματική συμπεριφορά σε ό,τι αφορά τη σύγκλιση ακολουθιών συναρτήσεων.
Video-Διαλέξεις
Διάλεξη 01: To εξωτερικό μέτρο Lebsgue
Μήκος Διαστήματος. Εξωτερικό μέτρο Lebesgue και ιδιότητες. Εξωτερικό μέτρο Lebesgue και μήκος διαστήματος. Υποπροσθετικότητα του εξωτερικού μέτρου Lebesgue.
Διάλεξη 02: Μετρήσιμα σύνολα
Ορισμός σ-άλγεβρας και παραδείγματα. Οικογένεια των συνόλων Borel. Ορισμός μετρήσιμων συνόλων. Το μέτρο Lebesgue. Σύνολα Borel και μετρησιμότητα.
Διάλεξη 03: Ιδιότητες τού μέτρου Lebesgue.
Η οικογένεια των μετρήσιμων συνόλων είναι σ-άλγεβρα. Το μέτρο Lebesgue είναι προσθετικό.
Διάλεξη 04: Ιδιότητες τού μέτρου Lebesgue (συνέχεια).
Προσέγγιση μετρήσιμων συνόλων από απλούστερα σύνολα (Βorel, ανοιχτά, κλειστά, διαστήματα).
Διάλεξη 05: Ασκήσεις
Διάλεξη 06: Ασκήσεις (συνέχεια).
Διάλεξη 07: Μετρήσιμες συναρτήσεις.
Ορισμός τής μετρήσιμης συνάρτησης. Ισοδύναμοι χαρακτηρισμοί. Βασικές ιδιότητες τής οικογένειας των μετρήσιμων συναρτήσεων.
Διάλεξη 08: Μετρήσιμες συναρτήσεις (συνέχεια). Το σύνολο Cantor.
Ιδιότητες μετρήσιμων συναρτήσεων (συνέχεια). Κατασκευή τού συνόλου Cantor.
Διάλεξη 09: Το σύνολο Cantor (συνέχεια). Μη μετρήσιμα σύνολα.
Ιδιότητες τού συνόλου Cantor. Διατύπωση τού θεωρήματος Steinhaus. Ύπαρξη μη μετρήσιμων συνόλων.
Διάλεξη 10: Το θεώρημα Steinhaus. Το ολοκλήρωμα απλών συναρτήσεων.
Απόδειξη τού θεωρήματος Steinhaus. Εφαρμογή στη συναρτησιακή εξίσωση τού Cauchy. Απλές συναρτήσεις και το ολοκλήρωμά τους.
Διάλεξη 11: Το ολοκλήρωμα Lebesgue μη αρνητικών συναρτήσεων.
Προσέγγιση μετρήσιμων συναρτήσεων από απλές συναρτήσεις. Ορισμός τού ολοκληρώματος Lebesgue για μη αρνητικές μετρήσιμες συναρτήσεις μέσω απλών συναρτήσεων.
Διάλεξη 12: Το ολοκλήρωμα Lebesgue μη αρνητικών συναρτήσεων (συνέχεια).
Βασικές ιδιότητες τού ολοκληρώματος, Το λήμμα Fatou.
Διάλεξη 13: Ολοκλήρωμα και σύγκλιση.
Το λήμμα Fatou (συνέχεια). Το θεώρημα μονότονης σύγκλισης. Το θεώρημα Beppo Levi. Ασκήσεις.
Διάλεξη 14: Ασκήσεις (συνέχεια). Το γενικό ολοκλήρωμα Lebesgue.
Ασκήσεις (συνέχεια). Ολοκληρώσιμες συναρτήσεις. Το γενικό ολοκλήρωμα Lebesgue. Βασικές ιδιότητες των ολοκληρώσιμων συναρτήσεων. Το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης.
Διάλεξη 15: Εφαρμογές και ασκήσεις πάνω στο ολοκλήρωμα.
Το θεμελιώδες θεώρημα τού Απειροστικού Λογισμού για το ολοκλήρωμα Lebesgue. Ασκήσεις.
Διάλεξη 16: Ασκήσεις (συνέχεια).
Διάλεξη 17: Ασκήσεις (συνέχεια). Σύγκλιση ακολουθιών μετρήσιμων συναρτήσεων.
Ασκήσεις πάνω στο ολοκλήρωμα (συνέχεια). Σύγκλιση σχεδόν παντού και σχεδόν ομοιόμορφη σύγκλιση. Σύγκλιση κατά μέτρο. Σύγκλιση κατά μέση τιμή. Σχέσεις μεταξύ των παραπάνω τύπων σύγκλισης. Το θεώρημα Egorov.
Διάλεξη 18: Σύγκλιση ακολουθιών μετρήσιμων συναρτήσεων (συνέχεια).
Ιδιότητες των διαφόρων τύπων σύγκλισης μετρήσιμων συναρτήσεων. Προσέγγιση από απλές συναρτήσεις.
Διάλεξη 19: Προσέγγιση ολοκληρώσιμων συναρτήσεων.
Προσέγγιση ολοκληρώσιμων συναρτήσεων από απλές, κλιμακωτές και συνεχείς συναρτήσεις. Το θεώρημα Lusin.
Διάλεξη 20: H μεγιστική συνάρτηση των Hardy και Littlewood.
Μέση τιμή συνάρτησης. Ορισμός τής μεγιστικής συνάρτησης και απόδειξη τής μετρησιμότητάς της, Η weak-type ανισότητα. Η μέση τιμή μιας ολοκληρώσιμης συνάρτησης συγκλίνει σχεδόν παντού στη συνάρτηση.