Θέματα Άλγεβρας (Θεωρία Αριθμών)
Πανεπιστήμιο Κρήτης
Τμήμα Μαθηματικών
Έτος: 2014-2015
Διδάσκων: Ιωάννης Α. Αντωνιάδης
Περιγραφή Μαθήματος
Το μάθημα χωρίζεται σε τρία βασικά κεφάλαια. Το πρώτο αφορά στην μελέτη των p-αδικών σωμάτων,και την σχετική ανάλυση σε αυτά. Τονίζονται οι ομοιότητες αλλά και οι διαφορέ ςως προ το σώμα των πραγματικών αριθμών. Το δεύτερο κεφάλαιο αφορά στην μελέτη βασικών εννοιών της (γεωμετρικής) θεωρίας των αλγεβρικών καμπυλών. Ο κύριος στόχος είναι η διατύπωση και απόδειξη του θεωρήματος του Bezout. Το τρίτο κεφάλαιο αφορά στην μελέτη των ρητών σημείων μιας ρητής ή μιας ελλειπτικής καμπύλης. Γίνεται επίσης μικρή αναφορά σε καμπύλες γένους μεγαλύτερου του 1.
Video-Διαλέξεις
Διάλεξη 01: Επεκτάσεις σωμάτων, Διοφαντικές Εξισώσεις, Αριθμητική Γεωμερία
Εισαγωγή στο μάθημα. Ερωτήματα στα οποία θα δωθούν απαντήσεις. Επίληση διοφαντικών εξισώσεων στο Z και στο Q
Διάλεξη 02: Διοφαντικές εξισώσεις
Συνέχεια της προηγούμενης διάλεξης. Πιθαγόριες τριάδες. Η εικασία του Fermat, απόδειξη για Ν=4.
Διάλεξη 03: Διοφαντικές εξισώσεις, αλγεβρική καμπύλη, γένος αυτής, p-αδικοί ακέραιοι
Γενικές παρατηρήσεις της επίλυσης διοφαντικών εξισώσεων και των δυσκολιών που παρουσιάζονται. Ταξινόμηση αυτών ως πρός το γένος τους. Ισοτιμίες modulo δυνάμεις πρώτων αριθμών.
Διάλεξη 04: p-αδικοί ακέραιοι, p-αδικές εκτιμήσεις, p-norm, αξίωμα του Αρχιμήδη.
Δομή του συνόλου των p-αδικών αριθμών, πράξεις και ιδιότητες αυτών. Το σώμα των p-αδικών αριθμών. Εκτιμήσεις αρχιμήδειες και μη-αρχιμήδειες.
Διάλεξη 05: Ακολουθίες Cauchy, πληρότητα ως προς μία εκτίμηση
Το σώμα των πραγματικών αριθμών R και τα p-αδικά σώματα Qp, p ∈ P, ομοιότητες και διαφορές. Το θεώρημα του Ostrowski και ο τύπος του γινομένου (The produce of formula). Το γενικό - τοπικό αξίωμα. Ιστορικά στοιχεία.
Διάλεξη 06: Προβολικά και αντίστροφα όρια, ρίζες πολυωνύμων του Zp , τετραγωνικές μορφές
Ρίζες πολυωνύμων του Zp. Λήμμα του Hensel. Tο πολυώνυμο του Νεύτωνα. Tετραγωνικές μορφές. Θεώρημα των Hasse-Minkowski.
Διάλεξη 07: Τοπικό-γενικό αξίωμα, p-αδικοί αριθμοί, επιλυσιμότητα στα Qp,p∈P
Επίλυση της εξίσωσης ax2+by2+cz2=0. Θεώρημα των Cheralley-Warning. Λήμμα του Hensel (ισχυρή μορφή).
Διάλεξη 08: Τετραγωνικές ισοτιμίες, τετραγωνικά υπόλοιπα, σύμβολο Legendre, γεωμετρία των αριθμών
Συνέχεια της μελέτης της επιλυσιμότητας εξισώσεων στα p-αδικά σώματα Qp. Παραδείγματα. Θεώρημα του Cassels
Διάλεξη 09: Τετραγωνικές μορφές, διγραμμικές μορφές, διαγωνιοποίηση
Παραδείγματα επίλυσης εξισώσεων στο Qp Στοιχεία θεωρίας τετραγωνικών μορφών. Παράσταση στοιχείων από τετραγωνική μορφή.
Διάλεξη 10: Ευκλείδεια περιοχή, περιοχή κύριων ιδεωδών, περιοχή μονοσήμαντης ανάλυσης,πολυώνυμο ανάγωγο, σώμα αλγεβρικά κλειστό, ριζικό ιδεώδους
Εφαρμογές. Το θεώρημα του Legendre. Το θεώρημα του Gauss ("ΕΥΡΗΚΑ!"). Το θεώρημα του Lagrange. Στοιχεία αλγεβρικής γεωμετρίας. Αριθμητική στον Κ[Χ], Κ σώμα.
Διάλεξη 11: Σύνολο ριζών, αλγεβρικά σύνολα, ανάγωγα αλγεβρικά σύνολα, ριζικά ιδεώδη
Η περιοχή Κ[Χ], ιδιότητες, ιδεώδη, αλγεβρικά σύνολα, ανάγωγα αλγεβρικά σύνολα, ριζικά ιδεώδη. Αντιστοιχία αλγεβρικών υποσυνόλων του Kn και ριζικών ιδεωδών του K[X1,X2,⋯,Xn]. "Think geometrically, prove algebraically! J. Silverman.
Διάλεξη 12: Scheme
Αντιστοιχία ιδεωδών και αλγεβρικών συνόλων.
Διάλεξη 13: Αλγεβρική καμπύλη, ιδιάζοντα σημεία και τάξη αυτών, ανάπτυγμα Taylor, πολλαπλότητα τομής
Αλγεβρικές καμπύλες και ιδιότητες αυτών.
Διάλεξη 14: Πολλαπλότητα τομής
Τομή αλγεβρικών καμπύλων. Παραδείγματα.
Διάλεξη 15: Προβολικός χώρος, προβολική ευθεία, καμπύλη, επίπεδο.
Παραδείγματα υπολογισμού της πολλαπλότητας τομής. Ορισμοί του προβολικού επιπέδου.
Διάλεξη 16: Πολλαπλότητα τομής σε προβολικές καμπύλες
Πολλαπλότητα τομής προβολικών αλγεβρικών καμπύλων. Θεώρημα του Bezout. Εφαρμογές.
Διάλεξη 17: Ανάγωγη καμπύλη, ιδιάζοντα σημεία, σημεία καμπής
Το θεώρημα των 9 σημείων. Εφαρμογές.
Διάλεξη 18: Μη-ιδιάζουσα κυβική καμπύλη, γένος αλγεβρικής καμπύλης
Εξίσωση του Weistrass μιας κυβικής καμπύλης. Ρητά σημεία κυβικών καμπύλων. Γεωμετρική πρόσθεση σημείων. Διατύπωση του θεωρήματος Mordell.
Διάλεξη 19: Αλγεβρική ομάδα, προσεταιρισμός, ελλειπτική καμπύλη
Το σύνολο των ρητών σημείων, αποτελεί αβελιανή ομάδα. Απόδειξη των ιδιοτήτων, ιδιαίτερα του προσεταιρισμού.
Διάλεξη 20: Εφαπτομένη καμπύλης, κλίση ευθείας, σημεία πεπερασμένης μιας ελλειπτικής καμπύλης
Αναλυτική περιγραφή της πρόσθεσης σημείων. Παραδείγματα και μέθοδοι υπολογισμού. Αναφορά του θεωρήματος των Lutz - Nagell. Απόδειξη των σημαντικών μερών του θεωρήματος.
Διάλεξη 21: Πεπερασμένη παραγόμενη αβελιανή ομάδα, filtvation
Παραδείγματα υπολογισμού της ομάδας των ρητών σημείων πεπερασμένης τάξης μιας ελλειπτικής καμπύλης. Το θεώρημα του Mordell, ιδέα της απόδειξης.
Διάλεξη 22: Ύψος ενός ρητού σημείου, τυπικός δακτύλιος, rank μίας πεπερασμένα παραγόμενης αβελιανής ομάδας.
Παραδείγματα υπολογισμού του rank της ομάδας των ρητών σημείων μιας ελλειπτικής καμπύλης. Η μέθοδος του Tate. Ελλειπτικές καμπύλες με μεγάλο rank.
Διάλεξη 23: Πεπερασμένα σώματα, local - global principle, εικασία του Riemann, ζήτα συνάρτηση, L-σειρά, ισοδύναμοι αριθμοί.
Ρητά σημεία ελλειπτικής καμπύλης ορισμένης σε πεπερασμένο σώμα. Local global principle. Το θεώρημα του Ηασσε (εικασία Riemann για ελλειπτικές καμπύλες). Εικασία των Birch - Swinnerton Dyer.